OPERACJE ARYTMETYCZNE W SYSTEMIE DWÓJKOWYM

SPIS TREŚCI

Przykłady – str. 1
Zadania – str. 2
Rozwiązania – str. 3

Plik zawierający przykłady i zadania można pobrać z [Platformy edukacyjnej].

POZIOM 2 – LICEUM I TECHNIKUM

DODAWANIE

Przykład 1
Dodawanie liczb w systemie dwójkowym (binarnym), wykonuje się podobnie jak w systemie dziesiętnym. Występują jednak pewne różnice.

0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 10
1+1+1 = 11
1+1+1+1 = 100

Jeżeli dodamy 1+1 to wynikiem jest 10 i w tym przypadku cyfra 1 przechodzi na kolejną pozycję. W prezentowanych przykładach takie sytuacje zostaną oznaczone kolorem.

Przykład 2
Podobnie jak w poprzednim przykładzie 1+1 powoduje przeniesienie 1 na kolejną pozycję. Podobna sytuacja występuje jeszcze dwukrotnie 1+1 i 1+1.

Przykład 3
Ze względu na dużą liczbę działań 1+1, oznaczenie ich wszystkich kolorem jest niemożliwe. Czasami będą one obrysowane żółtą krawędzią. Nie wszystkie 1 zostają przenoszone na kolejną pozycję. Część z nich „wędruje” do wyniku. Sytuacja ta jest oznaczona niebieską strzałką.

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

ODEJMOWANIE

Przykład 7
Wykonując operację odejmowania, często będziemy korzystać z tzw. 'pożyczki’.
1-1 = 0
0-0 = 0
1-0 = 1
0-1 = ? w tym przypadku nie możemy wpisać -1. Należy wykonać pożyczkę z kolejnej pozycji. Przekreślamy jedynkę (po lewej) a nad zerem wpisujemy 1+1. Następnie wykonujemy działanie 1+1-1 = 1.

Przykład 8

Przykład 9
Nieco trudniejszy przykład.
1-1 = 0
1-1 = 0
0-1 wykonujemy pożyczkę a następnie 1+1-1 = 1
0-1 (zero ponieważ jedynka jest przekreślona) wykonujemy pożyczkę a następnie 1+1-1 = 1
0-1 (zero ponieważ jedynka jest przekreślona) wykonujemy pożyczkę a następnie 1+1 -1 = 1

Przykład 10

Przykład 11
Pierwsze działanie to 0 minus 1. Pożyczka musi być wykonana wielokrotnie. Jedynki oznaczone kolorem szarym zapisane są tylko w celu lepszego zrozumienia wykonywanych działań (tak naprawdę ich tam nie ma).

Postaram się to wyjaśnić bardzo dokładnie. Zrozumienie tej części sprawi, że rozwiązanie podobnych przykładów nie będzie trudne.

Przekreślamy 1 a po prawej nad zerem piszemy 1+1 (w miejscu przekreślonej jedynki jest w tym momencie wartość 0).

Pożyczamy na kolejną pozycję (z szarej jedynki).

Pożyczamy po raz kolejny. Zastanów się jak przebiega odwrotna operacja.

Wróćmy do przykładu.

w tym momencie można wykonać
1+1-1 = 1
1-1 = 0
1-1 = 0
0-0 = 0 (w miejscu przekreślonej 1 jest oczywiście wartość 0)
10-1 = 1 (można by też wykonać pożyczkę ale oczywiste jest, że 10-1=1, więc nie będę nadgorliwy).

Przykład 12
Jedynki oznaczone kolorem szarym służą tylko i wyłączenie lepszemu zrozumieniu pożyczek. Tak naprawdę ich tam nie ma, dlatego oznaczyłem jest delikatnym kolorem szarym.

MNOŻENIE

Przykład 13
Mnożenie wykonujemy tak samo jak w systemie 10.
0*0 = 0
0*1 = 0
1*0 = 0
1*1 = 1

Ważne jest, aby wyniki poszczególnych mnożeń przesuwać o odpowiednią liczbę miejsc w lewą stronę. Na końcu dodajemy do siebie 10110+10110+00000+10110.

Przykład 14

Przykład 15

Przykład 16

Przykład 17

Przykład 18
Mnożąc przez 0 można pominąć pisanie zer, należy być jednak ostrożnym, aby się nie pomylić.

Przykład 19

DZIELENIE

Przykład 20
Operację dzielenia przedstawię bardzo dokładnie ponieważ jest to najtrudniejsze działanie.

Krok 1
Dzielę 1:10, liczba 10 nie mieści się ani razu w 1, zostawiam więc u góry (w wyniku) puste pole.
Dzielę 11:10 = 1, wynik wpisuję u góry (kolor czerwony).
Mnożę 1*10 = 10, wynik wpisuję pod 11.
Odejmuję 11-10 = 1, wynik wpisuję pod kreską.

Krok 2
Przepisuję 0 zgodnie z niebieską strzałką.
Dzielę 10:10 = 1, wynik wpisuję u góry.
Mnożę 1*10, wynik wpisuję pod spodem.
Odejmuję 10-10 = 0, zer nie piszę, wpisuję dwie kreski –