SYSTEM BINARNY

SPIS TREŚCI

Szkoła podstawowa

• Przykłady – str. 1
• Zadania – str. 2
• Rozwiązania zadań – str. 3

POZIOM 1 – SZKOŁA PODSTAWOWA

WSTĘP

W systemie binarnym do zapisu liczb używa się cyfr 0 i 1. Stosuje się go w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej. W tym artykule chce Cię nauczyć, zamiany liczb zapisanych w systemie dziesiętnym na system binarny i odwrotnie.

PRZYKŁADY

Wszystkie przykłady i zadania zapisane są w pliku arkusza kalkulacyjnego. Można go pobrać z [Platforma edukacyjna]. Rozwiązania zadań są automatycznie sprawdzane, zarówno przy zamianie z systemu binarnego na dziesiętny, jak i z dziesiętnego na binarny.

Przykład 1 (sposób 1)
Zamiana z systemu 10 na 2.

Istnieją dwa sposoby zamiany liczb z systemu 10 na 2. Jako pierwszy przedstawię ten mniej podręcznikowy.

Wartości kolejnych potęg o podstawie 2.
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
Jak widzisz są one wpisane w pierwszym wierszu tabeli.

Aby zamienić liczbę dziesiętna (np. 9) na liczbę binarną, należy dodać do siebie odpowiednie wartości potęgi dwójki (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …) tak, aby ich suma była równa tej liczbie. Każdą z liczb (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …) można wybrać tylko jeden raz. Dla 9 wybieramy 1 i 8 bo 1+8 = 9. Pod wybranymi liczbami (szary kolor wypełnienia) wpisujemy 1, pozostałe miejsca uzupełniamy zerami. Przed pierwszą jedynką (z lewej strony) nie wpisujemy zer, ponieważ nie mają one znaczenia.

Wróć teraz do pierwszej tabeli i przeanalizuj zamianę wpisanych tam liczb.

Przykład 2 (sposób 1)
Zamiana liczby z systemu 10 na 2.

Liczba dziesiętna 21 w systemie binarny to 10101 bo 16+4+1=21.

Przykład 3 (sposób 1)
Zamiana liczby z systemu 10 na 2.

Liczba dziesiętna 57 w systemie binarnym to 111001 bo 32+16+8+1=57.

Przykład 4 (sposób 2)
Drugi sposób zamiany polega na dzieleniu liczby przez 2 z uwględnieniem reszty. Wyniki dzieleń i reszt należy wpisywać w polach oznaczonych kolorem zielonym. Prawa tabela automatycznie sprawdza czy wynik jest poprawny.

Przykład 5 (sposób 2)
Zamiana liczby z systemu 10 na 2.

Zwróć uwagę na to, że wynik dzielenia zawsze przepisujemy do następnego wiersza.
18 : 2 = 9 reszty 0
9 : 2 = 4 reszty 1 !!!
4 : 2 = 2 reszty 0
2 : 2 = 1 reszty 0
1 : 2 = 0 reszty 1 !!!

Dzielenie wykonujemy do momentu otrzymania wartości 0. Po zakończeniu obliczeń powinien wyświetlić się komunikat ’Wynik poprawny’.

UWAGA! Wynik końcowy (liczbę binarną) odczytujemy od dołu do góry. PAMIĘTAJ O TYM!
Liczba dziesiętna 18 w systemie binarnym to 10010.

Przykład 6 (sposób 2)
Zamiana liczb dziesiętnych 165, 62 i 48 na system binarny.

Przykład 7
Zamiana liczb z systemu binarnego na system dziesiętny.

Aby nieco utrudnić, w tabelach zostały usuniętę potęgi 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128).

Liczba binarna 11001 w systemie dziesiętnym to 25 bo 16+8+1 = 25
Liczba binarna 1011010 w systemie dziesiętnym to 90 bo 64+16+8+2 = 90
Liczba binarna 1011 w systemie dziesiętnym to 11 bo 8+2+1 = 11

Przykład 8*
Zamieniając liczby z systemu binarnego na dziesiętny, można wykorzystać prosty i przydatny trik. Przyszpiesza on obliczenia w przypadku, gdy 0 (w liczbie binarnej) jest o wiele mniej niż 1.

Zanim przejdziemy do przykładów, zwróćmy uwagę na to, jak w systemie binarnym powiększa się liczbę o 1.

Przykład 8.1

Pierwsze puste pole (szare tło), patrząc od strony prawej do lewej to 8 (bo dla 4, 2, 1 są wpisane 1). Od 8 odejmij 1 i otrzymasz wynik w systemie dziesiętnym.
8 – 1 = 7

Pewnie mała część czytelników zrozumiała o co biega więc zrobimy kolejne przykłady.

Przykład 8.2

Analogicznie
32 – 1 = 31

Przykład 8.3

UWAGA! Teraz musimy wprowadzić poprawkę!
32 – 1 = 31 ale ponieważ pod 1 jest 0 to od 31 odejmujemy poprawkę równą 1
31 – 1 = 30
Podsumowując
(32 – 1) – 1 = 30
Liczba binarna 11110 to w systemie dziesiętnym 30

Przykład 8.4

Podobnie
(32 – 1) – 4 – 1 = 26

Przykład 8.5

(128 – 1) = 127

Przykład 8.6

(128 – 1) – 4 – 1 = 122

Przykład 8.7

(128 – 1) – 32 – 1 = 94